這一篇我們接著上面的內容，繼續談古琴中的數理原理。首先還是把波動方程的解析解列出來：
公式里的f就是振動的頻率，單位是赫茲（Hz），即每秒鐘振動的次數，頻率越高，音調就越高。L是弦的長度，T是弦中的張力，μ是線密度也稱為纖度，是指一物體單位長度下的質量。
徽位：
古琴上有十三個徽，代表了一年十二個月加一個閏月，想必每個彈琴的人都是這么學的。可是這十三個徽的位置是怎么定出來的呢？就算你不是斫琴人，通過簡單的測量，甚至是估計，都不難找出每個徽位的相對位置的。讓我們假設總有效弦長為1，那么從右邊的岳山算起，每個徽的對應的弦上的位置就可以用下面的表格寫出來：
根據公式我們可以知道，弦長成整數倍關系的時候，頻率也成整數倍。如果兩個頻率成整數倍，聲音會比較和諧。這個規律早在古希臘時期的畢達格斯家就曾經發現過。我們還可以算出來，按在七徽的時候，弦長正好是空弦的一半，所以振動頻率高一倍，在音樂上講，就是高了一個八度。而按在四徽的時候，則高了兩個八度，按在一徽的時候，高了三個八度。
九十徽：
九徽和十徽是兩個最常用的徽，古人彈琴的口訣說：凡彈操縵者，皆按十徽音，十徽尋不見，方去九徽尋。從上面的比例中，我們可以算出，九徽的音和空弦音是純五度的關系，十徽的音和空弦音是純四度的關系。而從音律上講，純四度和純五度都是比較和諧的音程，所以這兩個徽才會這么常用。在古代音律中，五音是和五行生克相對應的。我們把和一個音成純四度的音成為這個音的母音，而成純五度的音稱為這個音的子音。
廢徽：
琴上有四個徽被稱為廢徽：三徽、六徽、八徽、十一徽。為什么這四個徽被稱為廢徽，乍一看摸不著頭腦，但是，仔細看看上面的表，我們就會發現，這是符合數學規律的，因為這些徽位都在五分之幾的地方。所以查阜西先生在《中國聲律之調停與琴之聲律》一文中說：“三徽為琴弦全弦1/5，六徽為2/5，八徽為3/5，十一徽為4/5，按之聲數，無論如何，皆不能中律。故此四徽，實廢徽也。”其實在四個徽位在琴譜上還是常見的，只不過它們在五分之幾的位置，不容易形成和諧音，所以用的較少而已。
幾個常用的徽位：
除了整數的徽位之外，琴譜上還經常出現一些徽和徽之間的位置，最常見的包括：徽外（卜），十徽八分（十八），八徽半（八半），七徽九分（七九），七徽六分（七六），六徽四分（六四），六徽二分（六二），五徽六分（五六）。這些位置又是怎么來的呢？為什么這些位置比較常見呢？顯而易見的答案是這些位置對應了一些全音或者半音。比如我們按空弦音為C計算，那么上述的徽位分別對應了：D,E,G#,A,A#,D,D#,F這幾個音。空弦為其他音的時候可以類推，在這里就不贅述了。
那么，現在的問題是，這些幾徽幾分的標注，準確性如何呢？我們繼續用數學的方法來找答案：
首先，按照上表，我們計算出了這些徽位的位置。還是假設總弦長為1。計算方法也很簡單，比如：
我們保留四位有效數字，再分別和兩種律制，即三分損益律和十二平均律，進行對比：
首先，關于徽外的位置，從十三徽到琴尾，其實有很大一段長度，而一般琴譜上籠統的記為徽外。而上表中我們把徽外的位置按8/9來計算，因為這個位置對應了D音。根據數據對比，這個位置還是相當合理的。所以徽外的按弦位置應該在8/9處，也就是距離十三徽0.倍弦長的位置，即大約在十三徽一分處。
根據表上的數據可以看出來，琴譜上標注的位置還是相當精確的。我們在上一篇文章中談到過，按音的實際位置和琴譜上標注的位置是有差距的，差距大概是“一分”的長度。如果古人是按照實際按弦的位置記譜的，那么計算出來的結果不會像上表那么精確。所以，我們可以做出這樣的推測：這些徽位的位置是經過古人計算的。
------------------------------------------------------------
